Indukce je odvození obecného pravidla z platnosti jeho jednotlivých instancí. Obecné pravidlo je například to, že slunce vyjde každý den, instancí je třeba fakt, že slunce vyšlo 12. listopadu 1949. Pokud pro mnoho různých n ověříme platnost predikátu P(n) a zároveň nenalezneme žádné n takové, aby P(n) neplatilo, pak induktivní úvaha vede k přijetí závěru ∀n: P(n). Indukce není absolutně spolehlivá: i když platí P(1), P(2), ... P(568), klidně se může stát, že P(569) platit nebude. Zajímavým příkladem selhání indukce je Pólyova hypotéza, která říká, že pro každé přirozené číslo n větší než 2, alespoň polovina čísel menších než n má lichý počet prvočíselných faktorů. Vezměme třeba čísla menší než n = 7: lichý počet faktorů mají tři (2, 3 a 5), zatímco sudý počet faktorů mají pouze dvě: 4 (=2x2) a 6 (=2x3). Sedmička tedy není tím n, které by hypotézu ∀n: P(n) vyvrátilo. Zkusíte-li systematicky brát všechny hodnoty n od tří nahoru, pravděpodobně dojdete po chvíli k induktivnímu závěru, že hypotéza platí. Abyste našli protipříklad, museli byste mít sakra velkou trpělivost: nejnižší n, pro které P(n) selhává, je rovno 906 150 257.
Nezaručenost induktivních závěrů vzbuzovala vždy nedůvěru. Na jedné straně indukci používáme každý den, na druhé straně, pokud akceptujeme Humeův argument, nemůžeme její užití deduktivně odůvodnit. Je pravděpodobné, že nedůvěra k indukci inspirovala Popperovu filosofii vědy, která se indukci elegantně vyhýbá za cenu toho, že žádnou teorii nikdy neprohlásí za pravdivou. Nechci ovšem o tom teď spekulovat, neb mám na mysli bizarnější problémek, kterému se říká Goodmanův paradox.
Nelson Goodman se zamýšlel nad typickou induktivní úvahou, které by se mohl oddávat třeba hledač drahokamů: Všechny až doposud nalezené smaragdy byly zelené. Znamená to, že i všechny v budoucnu nalezené smaragdy budou zelené?
Zdravý rozum, zdá se, podporuje kladnou odpověď. Deduktivně odvozená jistota to není, ale vysoká pravděpodobnost ano. (Pro hnidopichy: v rámci této úvahy zelená barva není považována za součást definice smaragdu. Že v reálném světě zelená barva požadována je, a tudíž že smaragdy jsou poměrně špatný materiál pro ilustraci našeho „paradoxu“, to je výtka, již třeba směřovat přímo Goodmanovi.)
Goodman proti zdravému rozumu nasadí tuto sofistiku:
Nadefinujme si nové pojmy: budeme říkat, že objekt je zedrý (v originále grue), pokud je zelený a zároveň je rok 2020 nebo dřívější, nebo pokud je objekt modrý a zároveň je rok 2021 nebo pozdější. Analogicky, objekt je molený (bleen), je-li modrý a datum je 2020 nebo nižší, nebo je-li zelený a datum je 2021 nebo pozdější. Těmito novými pojmy jsme schopni nahradit náš starý slovník týkající se barev. Když vyjdu ven a podívám se nahoru, uvidím molené nebe a zedrou trávu [*] Jaký to představuje problém pro smaragdy a indukci? „Všechny doposud nalezené smaragdy byly zedré“, řekl by hledač drahokamů, shodou okolností čtenář Goodmanových článků. „To znamená (s vysokou pravděpodobností), že i v budoucnu budou všechny nalezené smaragdy zedré.„ Hypotéza, že všechny v budoucnu nalezené smaragdy budou zedré, je samozřejmě v konfliktu s hypotézou, že všechny smaragdy budou zelené. Kdybychom věřili první hypotéze, očekávali bychom, že po prvním lednu 2020 smaragdy zmodrají. To je pochopitelně absurdní, a tudíž Goodmanova induktivní úvaha nefunguje. A nabízí se tudíž otázka: Proč indukce funguje se slovy „zelený“ a „modrý“, zatímco nefunguje se slovy „molený“ a „zedrý“?
Je myslím plně rozumné odvrhnout nejjednodušší odpověď, a to, že (A) indukce vlastně nefunguje nikdy. Byla by to příliš vysoká cena za vyřešení triviálního paradoxu. Problematická je i další odpověď, byť na první pohled vypadá rozumněji: (B) pojmy „molený“ a „zedrý“ jsou odvozené z primitivních pojmů „zelený“ a „modrý“, a induktivních úvah se lze platně dovolávat pouze tehdy, užívají-li primitivní pojmy. Problémy jsou dva: (1) bez dalšího objasnění je „primitivnost“ příliš vágní vlastnost, a (2) mnoho induktivně odvozených zákonitostí je formulováno pomocí odvozených pojmů. Vezměme třeba zákon zachování energie; energie zpravidla není měřena přímo a je definována pomocí jiných, primitivnějších, fyzikálních veličin. V duchu námitky (1) zase jde standardní Goodmanův protiargument: Představme si člověka vychovaného ve společnosti užívající slova „molený“ a „zedrý“ (nebo významové ekvivalenty) pro označování barev. Pro takového člověka je „zelený“ nové slovo, nadefinované jako „zedrý“ do Silvestra 2019 a „molený“ po prvním lednu 2020. Z pohledu takového člověka je náš barevný slovník kompozitní, nadefinovaný pomocí primitivních goodmanovských pojmů.
Námitky pomocí viditelně vykonstruovaného myšlenkového experimentu obvykle nepovažuji za příliš relevantní (nemám například problém se smířit s tím, že člověk myslící v goodmanovských barvách je co do užití indukce ztracen), ale možná stojí za to tezi (B) modifikovat tak, aby byla proti podobným námitkám imunní. Můžeme začít třeba s touto variantou:
(C) Zedrost a molenost jsou nepřirozené pojmy. Jejich určení vyžaduje stanovit časovou hranici, 1. leden 2020, kterou si někdo vycucal z prstu. Nepřirozené vlastnosti nemohou být induktivně zobecňovány z pozorování.
Nevyhovuje-li přirozenost jako kritérium, můžeme se vždy obrátit ke staré známé Occamově břitvě:
(D) Zedrost a molenost jsou složitější pojmy než modrost a zelenost. Pozorování, že všechny doposud nalezené smaragdy byly zedré sice je evidence pro induktivní vyvození, že zedrost bude pozorována i v budoucnu, ale proti tomu stojí stejně platná induktivní úvaha vyvozující, že smaragdy budou zelené. Jelikož je druhá úvaha jednodušší, má přednost.
Nejlepší se mi ale stále jeví statistický argument.
(E) Zedrost a molenost nejsou vlastnosti předmětů, ale vlastnosti předmětů a času. Co se času týče, je statistický vzorek nereprezentativní.
Ke zjištění, zda je předmět zelený nebo modrý stačí mít oči (nebo spektrometr). Ke zjištění, zda je zedrý nebo molený potřebujeme navíc hodiny. Množina dostupných pozorování tak jsou dvojice (přirozená barva, čas), ze kterých můžeme odvodit goodmanovskou barvu. Všechny prvky množiny mají přirozená barva = zelená a čas < 2020 (což pochopitelně implikuje goodmanovská barva = zedrá). Platná induktivní úvaha obecně může znít
- Všechny pozorované prvky nezanedbatelně velké množiny mají vlastnosti X a Y.
- Tudíž pravděpodobně všechny prvky této množiny včetně těch nepozorovaných mají vlastnosti X a Y.
Nemůže ale být ve tvaru
- Všechny pozorované prvky nezanedbatelně velké množiny mají vlastnosti X a Y.
- Tudíž pravděpodobně všechny prvky této množiny včetně těch nepozorovaných, které nemají vlastnost Y, mají vlastnosti X.
Prvky množiny jsou nálezy smaragdů a vlastnost Y je čas nálezu, respektive fakt, zda byl nález učiněn před rokem 2020. Jelikož Y umíme docela dobře ovlivnit, můžeme dost dobře předpokládat, že existují i nálezy, kde Y neplatí, čímž vyloučíme platnou první induktivní úvahu. Vyloučení platné úvahy ovšem člověka neopravňuje k akceptování její neplatné modifikace.
Goodmanův paradox může být docela užitečnou ilustrací toho, že ne všechny pojmy jsou si rovny. Indukce jej ovšem přežije celkem snadno.
Žádné komentáře:
Okomentovat