Machův princip a obecná relativita

První dva Newtonovy zákony říkají:

1. Těleso se pohybuje rovnoměrně a přímočaře (tj. s nulovým zrychlením), nepůsobí-li na něj žádná síla.
2. Zrychlení tělesa je rovna síle, která na něj působí, dělené hmotností tělesa.

Toto tradiční [1] podání se snadno může stát terčem námitek. Jedna věc je, že první zákon vypadá jako pouhý speciální případ zákona druhého, a mohl by být proto ze sady zákonů bez újmy vypuštěn. Vážnější je ale otázka, vůči čemu měříme zrychlení, a jak zjistíme, jestli na těleso působí síla.

Zjišťovat přítomnost síly na základě toho, jestli se těleso pohybuje bez zrychlení, přitom nejde: to by se Newtonovy zákony proměnily v tautologii. V Newtonových dobách byly ale všechny známé druhy sil svázány se vzájemným působením těles. Tělesa buď na sebe přímo tlačila či narážela, nebo působila na dálku gravitačně. Později byla objevena elektrostatická síla, která, podobně jako gravitace, se vzdáleností rychle ubývá. Nabízela se proto možnost klauzuli "nepůsobí-li na něj žádná síla" v prvním zákoně nahradit podmínkou "je-li velmi daleko od ostatních těles" [2]. Tato podmínka zajišťuje absenci sil pouze přibližně, zato ale není pochyb o jejím významu.

Pořád ovšem zůstává otázka, vůči čemu měřit zrychlení. Newton sám zřejmě věřil v existenci jakéhosi ideálního prostoru tvořícího pozadí pohybům těles. I když nemůžeme přímo (tj. bez užití druhého Newtonova zákona) měřit zrychlení těles vůči tomuto prostoru, můžeme si pomoct nepřímo: najdeme těleso, o kterém máme dost dobré důvody se domnívat, že na něj nepůsobí žádná síla, a zrychlení měříme vzhledem k tomuto referenčnímu tělesu, které definuje inerciální soustavu. Protože zrychlení vůči jakýmkoli dvěma tělesům vzájemně se pohybujícím stálou rychlostí je stejné (Galileův princip ekvivalence inerciálních soustav), je možno naměřené zrychlení interpretovat jako zrychlení vůči absolutnímu prostoru.

Úvahy o povaze absolutního prostoru vedly k různým myšlenkovým experimentům. Typicky se uvažuje prázdný prostor obsahující jediný objekt, například kouli z pružného materiálu. Je-li objekt v klidu, zůstává jeho tvar kulovým. Platí-li newtonovská představa absolutního prostoru, objekt může taktéž rotovat, a potom se působením odstředivé síly zplošťuje. Na základě zploštění lze tedy určit, zda objekt rotuje či ne, ačkoli v popisovaném myšleném vesmíru není nic, vůči čemuž by objekt rotoval.

Možnost zjistit absolutní rotaci, nejen rotaci relativní k ostatním objektům, definitivně pohřbila geocentrické modely vesmíru. Zdánlivý pohyb těles na obloze lze vysvětlit tak, že tato tělesa se skutečně pohybují; dokonce je to přirozenější vyslětlení pro pozemského pozorovatele. Efekty rotace přímo na Zemi, jako je stáčení roviny kyvu Foucaultova kyvadla, Coriolisovu sílu působící na pohybující se předměty, nebo menší tíhu na rovníku než na pólu ale jednoznačně implikují, že je to Země, co se točí.

Jedním z těch, kdo tento způsob uvažování kritizovali, byl Ernst Mach. Mach správně podotkl, že nemáme k porovnání dva vesmíry s relativním pohybem Země a okolních hvězd, z nichž v jednom je to Země, která se absolutně točí, a v druhém hvězdy. Máme pouze jeden vesmír, kde pozorujeme relativní rotaci, a pojem absolutního prostoru je pouhou interpretací faktů. Coriolisova síla a další efekty jsou samozřejmě reálné, ale mohou být stejně tak důsledkem relativního pohybu Země vůči vzdáleným hvězdám [3].

Je tedy představitelné - nebo aspoň pro fyziku konce 19. století bylo představitelné - že setrvačné efekty jsou důsledkem relativního pohybu vzhledem k těžkým předmětům. Můžeme si to představit tak, že kromě nám známých, se vzdáleností ubývajících, sil existuje ještě další působení mezi tělesy. Příslušná síla je úměrná hmotnosti těles podobně jako gravitace, ale navíc je ještě úměrná jejich relativnímu zrychlení a působí opačným směrem. Aby nedošlo ke konfliktu s experimentálními daty, musí tato "setrvačná" síla být mezi blízkými tělesy mnohem slabší než gravitace, ale na rozdíl od ní klesat pomaleji se vzdáleností (nebo neklesat vůbec). Setrvačné působení například mezi planetami Sluneční soustavy by tak bylo natolik slabé, že je prakticky nepozorovatelné. Na druhou stranu celková hmotnost všech hvězd ve vesmíru je dostatečně velká na to, aby vykompenzovala slabost setrvačných sil, a celkové působení od nich je tím, co zodpovídá za setrvačnost.

Machova setrvačnost vůči ostatním (vzdáleným) objektům je v rámci našeho světa neodlišitelná od Newtonovy setrvačnosti vůči absolutnímu prostoru. V rámci myšlených experimentů se ale liší. V machovském světě se gumová koule nezploští, ať již rotuje nebo ne, protože zploštění rotujících koulí, které pozorujeme v našem světě, je výsledek působení obrovské hmoty tvořící zbytek vesmíru, která v popsaném myšleném experimentu chybí. Jestliže se koule nezplošťuje, není v principu možno rozlišit, zda rotuje nebo ne; samotný pojem rotace má význam jenom relativní, vůči jiným objektům. Newton ilustroval představu o rotaci vůči absolutnímu prostoru na příkladu kbelíku s vodou. Rotuje-li voda v kbelíku, je její hladina parabolická. V newtonovském světě nezávisí tvar hladiny na vzájemné rychlosti kbelíku a vody v něm; pohyb kbelíku samotného je irelevantní (neuvažujeme-li tření vody o stěny kbelíku). V machovském světě kbelík na vodu působí, a pokud by ve vesmíru nebylo nic kromě kbelíku s vodou (a zdroje gravitace, která drží vodu uvnitř), pak tvar hladiny může záviset pouze na rychlosti rotace vody vůči kbelíku.

Mach nenavrhl konkrétní podobu alternativních fyzikálních zákonů. Samotný název "Machův princip" použil poprvé Albert Einstein až po Machově smrti. Einsteina údajně Machovy myšlenky o relativitě pohybu inspirovaly při formulování obecné teorie relativity. Tato skutečnost vede k debatám o tom, nakolik odpovídá obecná teorie relativity Machovu principu. Jelikož Mach sám nikdy žádný jednoznačný princip nezformuloval, mívají diskutující problém vůbec se shodnout na tom, co onen princip říká. Carlo Rovelli uvádí osm verzí Machova principu (s odkazy na Newtonův kbelík, volně přeloženo [4]):

1. Vzdálené hvězdy ovlivňují to, jaké souřadné soustavy jsou inerciální.
   
2. Zda je vybraná soustava inerciální je plně určeno rozložením hmoty ve vesmíru.
   
3. Rotace kbelíku způsobuje, že inerciální soustava uvnitř kbelíku také rotuje, a síla tohoto efektu roste s rostoucí hmotností kbelíku.
   
4. V limitě (nekonečně) těžkého kbelíku inerciální soustava rotuje spolu s kbelíkem.
   
5. Nemá smysl mluvit o rotaci vesmíru jako celku.
   
6. Bez přítomnosti hmoty by neexistovala setrvačnost.
   
7. Neexistuje absolutní pohyb, pouze relativní pohyb vůči něčemu jinému, a proto voda (s parabolickou hladinou) v kbelíku nerotuje absolutně, ale relativně vůči nějakému fyzikálnímu objektu.
   
8. Zda je vybraná soustava inerciální je plně určeno dynamickými poli ve vesmíru.
   

Rovelli označuje za pravdivé (tj. v souladu s obecnou teorií relativity) principy 1, 3, 7 a 8, za nepravdivé pak verze 2, 5 a 6. Status čtvrtého principu záleží na tom, jak přesně limitu realizujeme.

K tomu je třeba dodat několik poznámek. Zaprvé, pravdivost prvního, třetího a případně čtvrtého principu je do jisté míry důsledkem právnického chápání jejich významu. Obecná relativita vedla k předefinování obsahu pojmu inerciální soustavy. Pro Newtona byla soustava svázaná s volně padajícím objektem neinerciální, protože na objekt působí gravitační síla. V obecné relativitě jsou naopak inerciální soustavy ty, které padají volným pádem, a gravitační síla má podobný status, jako odstředivá či Coriolisova síla v klasické fyzice. To je ale do značné míry otázka formulační: volně padající soustavu od inerciální soustavy bez přítomnosti gravitace zevnitř neodlišíme ani v rámci newtonovské fyziky.

Díky zmíněné redefinici inerciálnosti samozřejmě vzdálené objekty ovlivňují inerciálnost soustav. Děje se to ovšem prostřednictvím dobře známé gravitace, a k témuž dochází i v rámci Newtonovy teorie. Jistý rozdíl je ten, že obecná relativita připouští jisté efekty, které jsou v newtonovské fyzice nemožné, například gravitační vlny, nebo Lense-Thirringův efekt, jenž je zodpovědný za platnost "Machových principů" ve verzích 3 a 4. Lense-Thirringův efekt ale způsobuje jen to, že rotující objekty budí ve svém okolí jiné gravitační pole, než objekty statické. Ačkoliv Newtonova teorie nic podobného nepřipouští, rozdíl je detekovatelný pouze u velmi těžkých objektů typu černých děr. Dá se tedy oprávněně pochybovat o tom, že tvrzení 1 a 3 jsou pravdivá díky přítomnosti Machova principu v obecné relativitě. Spíše se jedná o důsledky toho, že gravitační pole má, podobně jako pole elektromagnetické, vlastní dynamiku, a není pevně vázáno na hmotná tělesa - na rozdíl od newtonovské fyziky (a proto neplatí tvrzení číslo 2 v seznamu výše). S duchem původních Machových myšlenek to ale má pramálo společného.

Samostatná povaha gravitačního pole v obecné relativitě má důsledky, které lze z hlediska Machova principu interpretovat jak jako jeho potvrzení, tak i jako jeho vyvrácení. Zda je lokální souřadná soustava inerciální je určeno hodnotami gravitačního pole v daném místě (a proto je pravdivá osmá verze Machova principu). Zrychlení se tak de facto měří vůči gravitačnímu poli, které lze vnímat jako fyzikální objekt; to by bylo možno považovat za potvrzení Machovy myšlenky, že pohyb musí být vždy definován vůči nějaké fyzikální entitě (viz sedmá verze principu). Na druhou stranu ale je zvykem místo o gravitačním poli mluvit o geometrii časoprostoru [5]. Relativistický časoprostor sice zdaleka nemá tak rigidní strukturu jako Newtonův absolutní prostor (geometrie časoprostoru je ovlivněna hmotu v něm se nacházející), přesto se ale nabízí závěr, že má smysl mluvit o zrychlení vůči časoprostoru samému, zcela v duchu Newtonových představ. Protimachovskou interpretaci posiluje i výsledek relativistické verze myšlenkového experimentu popsaného na začátku tohoto článku: obecná teorie relativity připouští existenci pustého prostoru obsahujícího gumovou kouli zploštělou následkem rotace. Prostor ale samozřejmě není úplně pustý, nutně obsahuje gravitační pole [6], které určuje, jaké soustavy jsou v daném případě inerciální.

Do značné míry se dá říct, že obecná teorie relativity redukovala spor o Machův princip do sémantické roviny. Záleží na tom, jestli raději mluvíme o časoprostoru nebo o gravitačním poli. Časoprostor v teorii relativity ale není Newtonovým jevištěm, na kterém se pohybují hmotné objekty a které exituje nezávisle na nich. Mach tedy měl pravdu, když kritizoval ideu absolutního prostoru. Mýlil se ale, pokud si myslel, že zrychlení nebo rotaci tělesa je možné definovat pouze relativně k ostatním hmotným tělesům [7].

Poznámky:
1. V originálním latinském znění: I. Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare. II. Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.
2. Věc se začne komplikovat, přibereme-li do úvahy elektromagnetické vlnění, a obecněji všechny efekty vzájemného působení těles a fyzikálních polí. Elektromagnetické a gravitační pole mohou existovat samostatně a působit silou, aniž by bylo na blízku další těleso jsoucí zdrojem této síly. Existence polí dělá také paseku v zákonu akce a reakce.
3. Mach píše:

Svět nám není dán dvakrát s klidnou a rotující Zemí, ale pouze jednou s jeho stanovitelnými relativními pohyby. Nemůžeme proto říct, jaké by to bylo, kdyby Země nerotovala. Nám daný jediný případ můžeme interpretovat různými způsoby. (Die Mechanik in ihrer Entwickelung: historisch-kritisch dargestellt, 1883, str. 216 [zde])

4. C.Rovelli, Quantum Gravity, str. 54. (Elektronická verze, číslo strany se může v tištěných vydáních lišit.)
5. "Gravitační pole" a "geometrie časoprostoru" jsou samozřejmě různá slova označující tutéž věc. Existují různé ekvivalentní matematické popisy časoprostorové geometrie. Užívajíce metriku nebo konexi je přirozenější mluvit o geometrii, tetrádový formalismus více navozuje jazyk polních teorií.
6. Gravitační pole můžeme identifikovat třeba s metrickým tensorem. Je dobré si uvědomit, že tento tensor (a tudíž i gravitační pole) je nenulový i v situaci, kdy nepozorujeme žádné gravitační působení, například v (téměř) prázdném prostoru. I v takových situacích tedy má smysl mluvit o zrychlení vůči gravitačnímu poli, samozřejmě poté, co je řečeno, co se tím přesně myslí.
7. Nechal jsem bez komentáře pátou verzi Machova principu. Argument pro její neplatnost se opírá o existenci Gödelova řešení Einsteinových rovnic, které bývá interpretováno jako model vesmíru vykazujícího globální rotaci. S Gödelovým řešením nejsem blíže obeznámen a přesná interpretace významu "globální rotace" v tomto případě je mi nejasná.