pátek 21. května 2010

Má vždy smysl mluvit o pravděpodobnosti?

Poslední "paradoxní" příspěvky (1, 2, 3) o argumentu soudného dne zkončily poněkud neuspokojivě. Zmínil jsem různé protiargumenty, ale mám z nich rozpačitý pocit. Některé, jako třeba zpochybnění exponenciálního růstu populace, vypadají docela rozumně, ale dojem trpí tím, že útočí na nejslabší místo paradoxu, místo, aby jej vyvrátily úplně. Jiné, zejména SIA diskutované v posledním díle, jsou vysloveně bizarní. Můj názor je, že argument soudného dne je paradoxem proto, že prostě zanáší pravděpodobnostní úvahy tam, kam nepatří. Že pravděpodobnost nemůžeme naroubovat na každou situaci, kde nemáme dostatek informací o přesném výsledku, ilustrují docela pěkně dva následující klasické paradoxy: Paradox Šípkové Růženky, který prodiskutuji dnes, a Paradox roztržitého řidiče, ke kterému se dostanu příště.

Paradox Šípkové Růženky. Jde o klasický paradox, formulovaný takto: Subjekt (tradičně označovaný jako Šípková Růženka [1], důvodem čehož je zřejmě opětovné uspávání v průběhu experimentu) je podroben následujícímu pokusu. V sobotu dostane subjekt dávku hypnotika, a usne. V neděli si experimentátoři hodí korunou. Když padne líc [2], probudí v pondělí subjekt, a položí mu jednu otázku. Padne-li rub, učiní totéž, ale poté subjekt znovu uspí, a probudí v úterý, se stejnou otázkou. Ani v jednom případě není probuzený subjekt informován o tom, jaký je den.

Klíčovou součástí paradoxu je, že naše hypotetické hypnotikum způsobuje znemožňuje převod mezi krátkodobou a dlouhodobou pamětí, takže pokud v pondělí následuje uspání jen velmi krátce po probuzení, subjekt si v úterý nebude pamatovat, že již byl jednou probuzen. Jinak je ovšem (již od pátku - amnézie nehrozí) informován o všech detailech experimentu. Otázka, kterou experimentátor pokládá v okamžiku probuzení, zní: Jaká je pravděpodobnost, že při hodu mincí padl líc?

Díky částečné amnézii nastolené hypnotikem subjekt nemá v okamžiku položení otázky šanci poznat, jestli je pondělí nebo úterý. Proto musí v obou případech. dát stejnou odpověď. A jak už to u podobných paradoxů bývá, existují dvě na první pohled rozumné, a přesto navzájem různé varianty této odpovědi

1/3. Probudím-li se, může to být ve třech různých případech.
  1. Pondělí, a padl líc.
  2. Pondělí, a padl rub.
  3. Úterý, a padl rub.
Ergo, pravděpodobnost líce je 1/3. Nebo jinak: Pokud experiment opakujeme tisíckrát, přibližně v pěti stech případů padne líc, a subjekt je probuzen pouze v pondělí, tj. máme zhruba 500 probuzení, za předpokladu, že padl líc. V dalších pěti stech případů padl rub, a poté následuje 500 pondělních a 500 úterních probuzení, tedy celkem 1000 probuzení za předpokladu, že padl rub. Z 1500 probuzení tedy ve 2/3 případů je situace taková, že padl rub, a tudíž pravděpodobnost toho, že padl líc, je 1/3.

1/2. Subjekt se dozví pravidla experimentu již v pátek. Pokud tuto otázku položíme subjektu v pátek, musí odpovědět, že pravděpodobnost, že padne líc, je 1/2 (předpokládáme, že mince není cinknutá). I když subjekt ví o detailech experimentu, je mu jasné, že počet probuzení v pondělí či úterý nemůže mít jakýkoli vliv na pravděpodobnost toho, co se stane s mincí. Přinejmenším je-li otázka položena a zodpovězena v pátek, jiná odpověď, než 1/2 by byla absurdní. Problém ovšem spočívá v tom, že při probuzení (ať už v pondělí nebo v úterý) subjekt neví o nic víc, než už věděl v pátek - během spánku se k němu nedostala žádná informace o výsledku hodu korunou. Pokud má být konsistentní sám se sebou, musí tedy i po svém probuzení říct, že hledaná pravděpodobnost je 1/2.

Na první pohled je situace podobná paradoxu dvou obálek: na začátku se zdá, že jev X má pravděpodobnost p, provedeme jisté kroky, které nám o X vůbec nic neřeknou, a přesto se poté zdá, že X má pravděpodobnost p' různou od p. Na rozdíl od dvou obálek ale zde není žádné nekonečno, na které by bylo možno svalit vinu a problému se tak elegantně zbavit. Máme zde elementární pravděpodobnostní úlohu a dvě nekompatibilní řešení, každé podložené zdánlivě neprůstřelným argumentem.

Standardní obranou třetinového stanoviska je zavedení sázek. Místo pouhé otázky o pravděpodobnosti, říkají zastánci třetiny, nechme subjekt vsadit peníze na to, že padl líc. Pokud by byla pravděpodobnost 1/2, pak subjekt musí akceptovat jako férové podmínky, rovná-li se výše výhry výši eventuální prohry, tedy kurs 2:1. Subjekti, kteří akceptují takové podmínky, ale skončí předvídatelně v dlouhodobé ztrátě. Vsadí-li subjekt korunu, pak padne-li líc, vyhraje čistou 1 korunu v pondělí. Padne-li ovšem rub, ztratí subjekt jednu korunu v pondělí a druhou v úterý, tj 2 koruny dohromady, a jelikož líce i ruby padají stejně často, tato strategie má očekávanou ztrátu 1 koruny na každý běh pokusu. Férový kurs, který vede k nulové očekávané bilanci, je 3:1.

Možná reakce zastánců poloviny: Argument s kursy je zavádějící, protože subjekt je "nucen" sázku opakovat v případě prohry. Ve skutečnosti je tak za podmínek předchozího odstavce výhra (padne-li líc) 1 Kč, zatímco prohra (padne-li rub) 2 Kč. I když je pravděpodobnost padnutí líce 1/2, nevyplatí se za těchto podmínek na sázku přistupovat, a předchozí argument tak není argumentem proti tomu, že p = 1/2.

Povšimněme si, že zastánci poloviny a zastánci třetiny nejsou ve sporu v otázce, co je vhodnou strategie pro sázení. Předmětem sporu je pouze hodnota pravděpodobnosti toho, že padl líc. Když jsou všechny praktické důsledky konkurenčních stanovisek shodné, obvykle je to symptomem toho, že spor se vede o nepodstatnou interpretaci nějakého pojmu, a je bez faktického obsahu. 

V tomto případě konkrétně, můžu nadefinovat, že p je převrácená hodnota férového kursu sázky za daných podmínek, a potom nelze než přijmout, že p = 1/3. Můžu naopak namítat, že takováto definice pravděpodobnosti je bizarní. Poučení ale je, že pravděpodobnost nemá smysl izolovaně od jejího užití v konkrétním rozhodování.

Paradox roztržitého řidiče, který přijde na řadu příště, ilustruje totéž v lehce odlišné formě, s větším důrazem na rozhodování, sázky a výhry.

Poznámky:
1. V angličtině Sleeping Beauty problem.
2. Ačkoli Wikipedia tvrdí opak, lícem mince (aversem) se obvykle rozumí ta strana, kde je portrét panovníka nebo státní znak, a na rubu (reversu) bývá vyznačena hodnota mince.

Žádné komentáře:

Okomentovat