neděle 20. prosince 2009

Braessův paradox

V pátek jsem projížděl tramvají přes staveniště tunelu Blanka na Letné, a pohled na rodící se obří víceúrovňovou křižovatku prakticky v centru města ve mně nevyvolal příjemné pocity. Jako obyvatel Prahy mám, a myslím, že oprávněně, v zásadě odmítavý názor na automobilovou dopravu v centru, a jsem přesvědčen, že moderní města mají automobilismus vytlačovat ze svých středů mimo jiné investicemi do veřejné dopravy; z této perspektivy se jeví strategie pražského magistrátu poněkud zastarale. Investice do nákupu nových tramvají na příští rok budou téměř jistě výrazně pod očekáváním [1], výstavba pro jižní části města klíčové linky metra D je v nedohlednu, a stavba nejdelšího městského silničního tunelu v Evropě mi za těchto okolností připadá jako příliš velký luxus.

Dnes ale nechci psát politický pamflet. V tuto chvíli se mi zdají zajímavější paradoxy, které s výstavbou nových silnic přímo souvisejí. Až tolik zajímavý není Downsův-Thomsonův paradox. Ten říká, že investice do rozšíření silnic na úkor investic do veřejné dopravy může vést k tomu, že průjezdnost silnic bude horší, než byla před jejich rozšířením. Logika za tím není nijak překvapivá - zhoršení kvality na dotacích zkrácené veřejné dopravy vyžene víc lidí do aut, a zvýšení automobilového provozu může být výraznější, než bylo zvýšení kapacity komunikací. Skoro bych řekl, že tohoto efektu se můžeme v Praze obávat v souvislosti s výstavbou vnitřního okruhu.

Co je ale mnohem zajímavější, průjezdnost silniční sítě se může po výstavbě nových silnic zhoršit, aniž by došlo k nějakým změnám ve financování veřejné dopravy, či aniž by vůbec v oblasti nějaká veřejná doprava existovala. A aniž by se zvýšil celkový objem přepravy. Prostě je určité množství lidí, kteří se potřebují dostat z A do B, a všichni jedou autem. Postavíte novou silnici (staré silnice zůstanou použitelné), a těmto lidem bude cesta trvat déle. Nevěříte? To je Braessův paradox.

Paradox hned předvedu v celé jeho kráse, ale předtím musím zmínit jeho předpoklady. Za prvé, předpokládám, že každá silnice [2] umožňuje určitou maximální rychlost vmax, a že všechny vozy po této silnici cestují touto rychlostí. Pokud ovšem počet vozů na této silnici překročí určitou mez, začne se jejich rychlost snižovat, a bude tím nižší, čím více vozů na silnici je. Pro jednoduchost budeme uvažovat, že existuje pro každou silnici konstanta Nmax udávající, kolik vozidel za hodinu může nejvýše po této silnici jet, aniž by jejich rychlost klesla pod vmax. Pokud je intenzita provozu N, tj. počet vozidel, které projedou za hodinu libovolným bodem silnice, větší než Nmax, pak jízdní doba roste lineárně s intenzitou provozu, což znamená, že

v = vmax / (N - Nmax).

Že realističnost paradoxu nezávisí na konkrétní podobě této funkce, ale pouze na empiricky potvrzeném faktu, že s rostoucím provozem klesá rychlost, bude doufám na konci jasné.

Druhý předpoklad je, že každý řidič chce dojet do cíle v nejkratším možném čase, a chová se podle toho.

K ilustraci nám stačí velmi jednoduchá síť, sestávající ze čtyř úseků a jedné spojky. Na začátku jsou místa A a B spojena dvěma silnicemi, z nichž každá se dělí na dva úseky. Severní silnice má úseky označené I a II, jižní úseky nesou označení III a IV. Úseky II a III jsou široké silnice, kde může jet až 1000 aut za hodinu plnou rychlostí, přičemž projetí každého z úseků II a III trvá 80 minut. Úseky I a IV jsou kratší, a plnou rychlostí je možné je projet za 50 minut. Jsou ale také užší, takže pokud provoz přesáhne 500 aut za hodinu, jízdní doba se prodlužuje o minutu za každých dvacet aut v hodině.




Jak severní, tak i jižní trasa procházejí městem X, kde jsou také hranice mezi úseky I a II na severu a III a IV na jihu; větve jsou v X odděleny řekou, a jejich spojení je možno jen přívozem, jehož jízdní doba je 35 minut (na obr. vyznačen zeleně).

Předpokládejme, že každou hodinu chce tisíc řidičů přejet z A do B. Pokud by severní trasou jezdilo 600 řidičů, bude jim průjezd úsekem I trvat 55 minut, a celkem by strávili na cestě 135 minut, jižní trasou by jelo 400 řidičů s jízdní dobou 130 minut. Dá se proto očekávat, že v takové situaci se řidiči ze severu začnou postupně přesouvat na rychlejší jižní trasu, až dojde k vyrovnání na poměr 500/500, přičemž oběma skupinám bude ujetí vzdálenosti trvat 130 minut. Toto je Nashova rovnováha: pokud kterýkoli řidič změní silnici, bude na tom tratit.

Ředitelství silnic a dálnic nyní rozhodne, že přívoz v X brzdí rozvoj místní ekonomiky, a nechá v X postavit most. Místo třiceti pěti minut na přívozu stačí teď pár sekund na přejetí mostu [3], a člověk se dostane z úseku III na úsek II, či z I na IV.

Řidič, který dosud jezdil I-II, má před sebou možnost přejet v X na úsek IV, kde byla dosud jízdní doba 50 minut. Tím, že přejede na úsek IV sice mírně sníží jeho rychlost, ale toto snížení je zanedbatelné - celou cestu projede za za 100 minut a tři vteřiny! Ovšem stejně tak řidič dosud jezdivší III-IV může stále jezdit čtvrtým úsekem, ale třetí nahradit prvním, s naprosto stejnou logikou. Je zřejmé, kam to vede. Původní rovnováha se zhroutí, a vytvoří se nová, kdy všichni řidiči budou jezdit úseky I a IV. Díky hustšímu provozu je ale jízdní doba každým z těchto úseků 75 minut, a celkově tak trvá cesta z A do B o dvacet minut více, než před otevřením mostu. Nová situace je znovu v Nashově rovnováze, protože každému jednotlivému řidiči nepomůže, pokud místo I užije III nebo místo IV užije II: v takovém případě by jen ztratil dalších 5 minut.

Na Braessově paradoxu není samozřejmě nic logicky sporného, ale přesto se příčí intuici. Spolu s vězňovým dilematem to je jeden z příkladů situace, kdy nekoordinované racionální chování jednotlivců nevede k optimálnímu výsledku. Kdyby se řidiči mohli domluvit, mohli by i v situaci s mostem jezdit tak, jak jezdili předtím - tj. 500 severní větví, 500 jižní. Ale uspořádání by bylo nestabilní. Každý z řidičů by si mohl cestu výrazně zkrátit jejím porušením, za cenu mírného prodloužení cesty všem ostatním. Že to každý řidič udělá, pokud se mu naskytne příležitost, o tom netřeba pochybovat.

Poznámky:
1. Viz např. zde. Jsem zvědav, jak si při snížení rozpočtu dopadne nákup vozů Škoda 15T, které si DP nasmlouval. Objevují se i pesimistické spekulace.
2. Má-li silnice v různých úsecích různé vlastnosti, pak každý z úseků považujeme za samostatnou silnici.
3. Pro jednoduchos budeme dobu přejetí mostu považovat za nulovou.

Žádné komentáře:

Okomentovat